Известно, что 16 значное число состоит из 7 нулей, четырех единиц и пяти четверок, причем никакие две четверки не стоят рядом. Сколько существует таких чисел?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что мы имеем 16-значное число, состоящее из 7 нулей, 4 единиц и 5 четверок. Так как никакие две четверки не могут стоять рядом, нам необходимо сначала расположить нули и единицы, а затем вставить четверки между ними.

1. Расположим нули и единицы: У нас есть 7 нулей и 4 единицы. Общее количество символов в последовательности нулей и единиц равно \(7 + 4 = 11\).

   Количество способов расположить 7 нулей и 4 единицы можно вычислить по формуле для сочетаний:

   \[ C(11, 4) = \frac{11!}{4! \cdot 7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330. \]

2. Вставим четверки: После размещения 7 нулей и 4 единиц у нас получится 12 "позиций" для вставки четырех, чтобы они не стояли рядом. Эти позиции – до, между и после символов:

   • \(_0\) (позиция до первого нуля)
   • \(0_0\)
   • \(0_0\)
   • \(0_0\)
   • \(0_0\)
   • \(0_1\)
   • \(1_0\)
   • \(1_1\)
   • \(1_0\)
   • \(1_1\)
   • \(1_0\)
   • \(_0\) (позиция после последнего символа)

   Имеем 12 позиций. Теперь мы хотим выбрать 5 позиций из этих 12 для размещения четверок. Количество способов сделать это можно также вычислить по формуле для сочетаний:

   \[ C(12, 5) = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792. \]

3. Объединим результаты: Чтобы найти общее количество таких 16-значных чисел, необходимо умножить количество способов расставить нули и единицы на количество способов вставить четверки:

   \[ 330 \times 792 = 261360. \]

Таким образом, общее количество 16-значных чисел, которые состоят из 7 нулей, 4 единиц и 5 четверок, при условии что никакие две четверки не стоят рядом, равно 261360.