Вычислить производную функции y=cos√x , используя опрелеление, т.е. предел

Чтобы вычислить производную функции \( y = \cos(\sqrt{x}) \) с использованием определения производной, начнем с формулы определения производной:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

В нашем случае \( f(x) = \cos(\sqrt{x}) \). Мы подставим это в формулу:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(\sqrt{x+h}) - \cos(\sqrt{x})}{h} \]

Для дальнейшего упрощения воспользуемся формулой разности косинусов:

\[ \cos(a) - \cos(b) = -2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) \]

В нашем случае \( a = \sqrt{x+h} \) и \( b = \sqrt{x} \). Теперь необходимо вычислить \( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \). По формуле разности квадратов мы можем выразить это как:

\[ \sqrt{x+h} - \sqrt{x} = \frac{(x+h) - x}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{h}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]

Теперь подставим это в предел:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{2}\right) \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{2}\right)}{h} \]

Заменим \( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \) на \( \frac{h}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \):

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} -2 \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\right)}{h} \]

При предельном переходе \( h \to 0 \), \(\sin\left(\frac{h}{2(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\right) \approx \frac{h}{2(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \), и мы получаем:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} -2 \sin\left(\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \]

Теперь подставляем \( h = 0 \):

\[ f'(x) = -\sin(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2(\sqrt{x} + \sqrt{x})} = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{2\cdot 2\sqrt{x}} = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{4\sqrt{x}} \]

Таким образом, производная функции \( y = \cos(\sqrt{x}) \):

\[ y' = -\frac{\sin(\sqrt{x})}{4\sqrt{x}} \]

Это и есть окончательный ответ.