Решить

Давай разберемся вместе! У нас на доске числа от 1 до 20. Мы можем выбрать любые два числа, стереть их и записать вместо них их разность. Важно: разность больше-меньшее, и числа не могут равняться. Мы продолжаем этот процесс, пока не останется одно число.

Основное правило: при каждом действии сумма всех чисел уменьшается на четное число, потому что (больше - меньше) всегда четное, а значит, нечётность суммы сохраняется. Изначально сумма чисел от 1 до 20 равна 210, что чётное.

Значит, чтобы различия и парность сохранялись, на доске должно остаться нечётное число, потому что только оно сохранит нечётность. Минимальное нечётное среди 1 и 20 — это будет 1. Поэтому минимально возможный остаток — это 1.