2cos² 3x-5cos 3x-3=0

Чтобы решить уравнение \( 2\cos^2(3x) - 5\cos(3x) - 3 = 0 \), давайте начнём с введения подстановки. Обозначим \( y = \cos(3x) \). Тогда уравнение преобразуется в:

\[ 2y^2 - 5y - 3 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы решения квадратных уравнений:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 2 \), \( b = -5 \), и \( c = -3 \).

Подставим значения в формулу:

1. Находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49. \]

2. Теперь подставляем в формулу:

\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}. \]

Это приводит к двум возможным решениям:

1. \( y_1 = \frac{12}{4} = 3 \) — это значение не подходит, так как \( \cos(3x) \) должен быть в диапазоне от -1 до 1.
2. \( y_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \).

Теперь, найдём значение \( x \) для решения \( \cos(3x) = -\frac{1}{2} \). Это происходит, когда:

\[ 3x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 3x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \]

где \( k \) — целое число.

Теперь, разделим на 3, чтобы получить значение \( x \):

1. \( x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \),
2. \( x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \).

Таким образом, общее решение уравнения:

\[ x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, \]

где \( k \) — любое целое число.