Lim x сиенсится к бесконечности (1+3/2x)^5x

Чтобы найти предел выражения при \( x \) стремящемся к бесконечности \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{2x})^{5x} \), мы можем использовать известный предел, связанный с числом \( e \).

Первый шаг – заметить, что когда \( x \) стремится к бесконечности, член \( \frac{3}{2x} \) стремится к нулю. Таким образом, мы можем переписать предел в следующем виде:

\[ (1 + \frac{3}{2x})^{5x} = ((1 + \frac{3}{2x})^{\frac{2x}{3}})^{\frac{15x}{2}}. \]

Поскольку \( \frac{3}{2x} \to 0 \) при \( x \to \infty \), мы можем использовать известный предел:

\[ \lim_{y \to 0} (1 + y)^{\frac{1}{y}} = e. \]

Теперь рассмотрим предел:

\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{2x}\right)^{2x} = e^{\frac{3}{2}}. \]

Таким образом:

\[ (1 + \frac{3}{2x})^{5x} = ((1 + \frac{3}{2x})^{2x})^{\frac{5}{2}} \to (e^{\frac{3}{2}})^{\frac{5}{2}} = e^{\frac{15}{4}}. \]

Итак, в конечном итоге, предел равен:

\[ \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{2x})^{5x} = e^{\frac{15}{4}}. \]

Постарайтесь повторить каждый шаг и убедиться, что вы понимаете, откуда берутся эти преобразования. Это поможет вам не только решить данный предел, но и лучше подготовиться к экзаменам. Успехов в учебе!