Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Докажите, что прямые А1Д и С1С скрещиваются.
Чтобы доказать, что прямые \( A_1D \) и \( C_1C \) скрещиваются, начнем с аналитического представления данных точек куба.
Обозначим координаты вершин куба:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(1, 1, 0) \)
- \( D(0, 1, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(1, 0, 1) \)
- \( C_1(1, 1, 1) \)
- \( D_1(0, 1, 1) \)
Теперь найдем уравнения для прямых \( A_1D \) и \( C_1C \).
Прямая \( A_1D \): Точки \( A_1(0, 0, 1) \) и \( D(0, 1, 0) \). Вектор, направляющий прямую \( A_1D \): \[ \overrightarrow{A_1D} = D - A_1 = (0, 1, 0) - (0, 0, 1) = (0, 1, -1) \] Уравнение прямой \( A_1D \): \[ \begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases} \] где \( t \) – параметр.
Прямая \( C_1C \): Точки \( C_1(1, 1, 1) \) и \( C(1, 1, 0) \). Вектор, направляющий прямую \( C_1C \): \[ \overrightarrow{C_1C} = C - C_1 = (1, 1, 0) - (1, 1, 1) = (0, 0, -1) \] Уравнение прямой \( C_1C \): \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 - s \end{cases} \end{cases} \] где \( s \) – параметр.
Теперь посмотрим, пересекаются ли эти прямые.
Прямая \( A_1D \) имеет фиксированное значение \( x = 0 \), и ее точки находятся при любых значениях \( t \) в плоскости \( y-z \) с \( z \) соответственно уменьшающимся от 1 до 0, когда \( t \) изменяется от 0 до 1.
Прямая \( C_1C \) имеет фиксированное значение \( x = 1 \), и ее точки находятся при любых значениях \( s \) в плоскости \( y-z \) с \( z \) убегающим от 1 до 0, когда \( s \) изменяется от 0 до 1.
Так как \( x \) для стержня \( A_1D \) всегда равен 0, а для \( C_1C \) — всегда равен 1, эти прямые не могут пересекаться.
Таким образом, прямые \( A_1D \) и \( C_1C \) являются скрещивающимися, так как они не пересекаются и не параллельны. Это подтверждает, что утверждение верно.
