Решите уравнение -2sin (х-п) - √2 на промежутке (0; 2π)

Чтобы решить уравнение \(-2\sin(x - \pi) - \sqrt{2} = 0\) на промежутке \((0; 2\pi)\), начнем с преобразования:

1. Переносим корень на правую сторону: \[ -2\sin(x - \pi) = \sqrt{2} \]

2. Делим обе стороны на -2: \[ \sin(x - \pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

3. Теперь мы знаем, что \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет решения в следующих квадрантах: третем и четвертом. Это означает, что: \[ x - \pi = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x - \pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

4. Теперь решим каждое из уравнений:

   • Для \(x - \pi = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\): \[ x = \frac{7\pi}{4} + \pi + 2k\pi = \frac{7\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} + 2k\pi = \frac{11\pi}{4} + 2k\pi \]

   • Для \(x - \pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\): \[ x = \frac{5\pi}{4} + \pi + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} + 2k\pi = \frac{9\pi}{4} + 2k\pi \]

5. Теперь проверим, какие значения \(x\) находятся в промежутке \((0; 2\pi)\):

   • Для \(x = \frac{11\pi}{4}\): \(\frac{11\pi}{4} \approx 8.64\) (это больше \(2\pi \approx 6.28\)), поэтому это значение не подходит.

   • Для \(x = \frac{9\pi}{4}\): \(\frac{9\pi}{4} \approx 7.07\) (это также больше \(2\pi\)), следовательно, это значение не подходит.

Теперь попробуем найти периодические решения для \(k = -1\):

1. Для \(k = -1\):

   • \(x = \frac{11\pi}{4} - 2\pi = \frac{11\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\), что в пределах \((0; 2\pi)\).
   • \(x = \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\), что также в пределах \((0; 2\pi)\).

Таким образом, решения уравнения на промежутке \((0; 2\pi)\) это:

\[ x = \frac{3\pi}{4} \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{4}. \]