"ABCDA,B,C,D - параллелепипед, точки P и F внутренние точки отрезков D,C и A,B соответственно B,P параллельны DF Докажите что четырехугольник B,PDF параллелограм"

Чтобы доказать, что четырёхугольник BPDF является параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны.

Из условия задачи уже дано, что BP || DF, так как точки B и P лежат на отрезках AB и AD соответственно. Теперь нужно доказать, что сторона PD || BF.

Для этого рассмотрим треугольники BPC и DFC. Оба треугольника имеют общую сторону BC, а также по условию задачи, точки P и F являются внутренними точками отрезков DC и AB соответственно.

Так как P и F лежат внутри отрезков, то угол BPC и угол DFC оба являются острыми углами. Это означает, что оба треугольника являются остроугольными треугольниками.

В остроугольном треугольнике прямая, проведенная через середину одной стороны и параллельная другой стороне, делит треугольник на два равных треугольника. Поэтому, прямая PF, которая проходит через середину BC и параллельна DF, делит треугольник BPC на два равных треугольника.

Таким образом, сегменты PB и PD равны по длине, так как треугольники BPC и DFC равны, а значит, сторона PD параллельна стороне BF.

Таким образом, четырёхугольник BPDF является параллелограммом.