Медианы прямоугольного треугольника ABC (угол C = 90°) пересекаются в точке М. Найдите гипотенузу AB, если CM =6 см

Для решения данной задачи используем свойства медиан в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, медианы пересекаются в точке М и, согласно свойству медиан, точка М делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что от точки C до точки M составляет 2/3 длины медианы CM, а от точки M до середины стороны AB — 1/3 длины.

Пусть средняя точка AB обозначена как D. Таким образом, длина медианы CD равна 3/2 * CM, так как CM составляет 2/3 длины медианы.

Если CM = 6 см, то:

\( CD = \frac{3}{2} \times 6 = 9 \) см.

Теперь мы можем использовать формулу длины медианы для прямоугольного треугольника. Длина медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, равна:

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

где c — длина гипотенузы (AB), а a и b — длины катетов (AC и BC).

Однако, в случае прямоугольного треугольника с медианой из прямого угла, также выводится, что медиана равна половине гипотенузы:

\[ m = \frac{c}{2} \]

При этом длина медианы CM равна 9 см.

Тогда:

\[ CM = \frac{c}{2} \]

Таким образом, мы можем выразить гипотенузу c:

\[ 6 = \frac{c}{2} \]

Умножив обе стороны на 2, находим:

\[ c = 12 \] см.

Таким образом, длина гипотенузы AB составляет 12 см.