2cos^2(x) - 5cos(x) - 3 = 0
Давайте решим уравнение \(2\cos^2(x) - 5\cos(x) - 3 = 0\).
Это квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Обозначим \(y = \cos(x)\). Таким образом, уравнение можно записать как:
\[2y^2 - 5y - 3 = 0.\]
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\):
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]
где \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = -3\).
Подставим эти значения в формулу:
- Сначала найдём дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49. \]
- Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}. \]
Это даёт два значения для \(y\):
- Первое значение:
\[ y_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3. \]
- Второе значение:
\[ y_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5. \]
Теперь у нас есть два возможных значения для \(\cos(x)\):
- \(\cos(x) = 3\) – это значение не подходит, так как косинус не может быть больше 1.
- \(\cos(x) = -0.5\) – это допустимое значение.
Теперь найдём \(x\):
\(\cos(x) = -0.5\) означает, что:
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \]
где \(k\) – это любое целое число.
Таким образом, решения уравнения \(2\cos^2(x) - 5\cos(x) - 3 = 0\) в общем виде будут:
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!
