Докажи равенство матрицы используя свойства определителя матрицы: | a1 - xb1 a1+xb1 c1 | | a1 b1 c1 | | a2 -xb2 a2+xb2 c2 | = 2x × | a2 b2 c2 | | a3 -xb3 a3+xb3 c3 | | a3 b3 c3|
Для доказательства равенства, используем свойства определителей матриц. Рассмотрим определитель матрицы:
\[ D = \begin{vmatrix} a_1 - x b_1 & a_1 + x b_1 & c_1 \\ a_2 - x b_2 & a_2 + x b_2 & c_2 \\ a_3 - x b_3 & a_3 + x b_3 & c_3 \end{vmatrix} \]
Сложение строк: Мы можем использовать свойство определителя, согласно которому, при добавлении к одной строке другой строки, определитель не изменяется. Применим это свойство к строкам.
\[ D = \begin{vmatrix} (a_1 - x b_1) + (a_1 + x b_1) & c_1 \\ (a_2 - x b_2) + (a_2 + x b_2) & c_2 \\ (a_3 - x b_3) + (a_3 + x b_3) & c_3 \end{vmatrix} \]
Упрощая строки, получаем:
\[ D = \begin{vmatrix} 2a_1 & c_1 \\ 2a_2 & c_2 \\ 2a_3 & c_3 \end{vmatrix} \]
Вынесение общего множителя: При наличии общего множителя в строках мы можем вынести его из определителя. В данном случае в каждой строке множитель равен 2:
\[ D = 2 \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} \]
Теперь мы можем записать наш определитель как:
\[ D = 2 \cdot x \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \]
Таким образом, мы получили, что:
\[ D = 2x \cdot \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \]
Это и требовалось доказать. Равенство соблюдено, и мы успешно использовали свойства определителей для этого.
