{х²+у²=50 Ху=7

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( x^2 + y^2 = 50 \)
2. \( xy = 7 \)

мы можем использовать метод подстановки. Начнем с того, чтобы выразить одно из уравнений через другое.

Сначала выразим \( y \) из уравнения \( xy = 7 \):

\[ y = \frac{7}{x} \]

Теперь подставим это значение \( y \) во второе уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{7}{x}\right)^2 = 50 \]

Упрощаем это уравнение:

\[ x^2 + \frac{49}{x^2} = 50 \]

Теперь умножим обе стороны на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):

\[ x^4 - 50x^2 + 49 = 0 \]

Теперь обозначим \( z = x^2 \), тогда наше уравнение становится:

\[ z^2 - 50z + 49 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 - 196 = 2304 \]

Находим корни:

\[ z = \frac{50 \pm \sqrt{2304}}{2} = \frac{50 \pm 48}{2} \]

Находим два значения:

\[ z_1 = \frac{98}{2} = 49, \quad z_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь вернемся к \( x^2 \):

1. Если \( x^2 = 49 \), тогда \( x = 7 \) или \( x = -7 \).
2. Если \( x^2 = 1 \), тогда \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( y \):

• Для \( x = 7 \): \[ y = \frac{7}{7} = 1 \]

• Для \( x = -7 \): \[ y = \frac{7}{-7} = -1 \]

• Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{7}{1} = 7 \]

• Для \( x = -1 \): \[ y = \frac{7}{-1} = -7 \]

Таким образом, у нас есть четыре пары решений:

1. \( x = 7, y = 1 \)
2. \( x = -7, y = -1 \)
3. \( x = 1, y = 7 \)
4. \( x = -1, y = -7 \)

Это и есть все решения данной системы уравнений.