в прямоугольник параллепипеде ABCDA1B1C1B1 известно, что BD1=5, CC1=3 B1C1=корень из 7. Найдите синус угла между DB1 и плоскость основания
Для решения данной задачи нам нужно определить синус угла между отрезком \( DB_1 \) и плоскостью основания прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).
Определим координаты точек:
Пусть:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, b, 0) \)
- \( D(0, b, 0) \)
- \( A_1(0, 0, h) \)
- \( B_1(a, 0, h) \)
- \( C_1(a, b, h) \)
- \( D_1(0, b, h) \)
Где \( a, b, h \) — длины ребер параллелепипеда.
Данные параметры:
- \( BD_1 = 5 \)
- \( CC_1 = 3 \)
- \( B_1C_1 = \sqrt{7} \)
Из второго условия \( CC_1 = h = 3 \).
Найдём длину \( BD_1 \): \( B \) находится в точке \( (a, 0, 0) \), а \( D_1 \) в точке \( (0, b, 3) \).
Длина отрезка \( BD_1 \) можно найти по формуле: \[ BD_1 = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - b)^2 + (0 - 3)^2} = 5 \]
Это дает нам: \[ \sqrt{a^2 + b^2 + 9} = 5. \] Квадратируя обе стороны, получаем: \[ a^2 + b^2 + 9 = 25 \implies a^2 + b^2 = 16. \]
Найдём длину \( B_1C_1 \): \( B_1 \) находится в точке \( (a, 0, 3) \), а \( C_1 \) в точке \( (a, b, 3) \).
Длина \( B_1C_1 \) равна: \[ B_1C_1 = \sqrt{(a - a)^2 + (0 - b)^2 + (3 - 3)^2} = |b| = \sqrt{7}. \] То есть: \[ b = \sqrt{7}. \]
Теперь определим \( a \): Используя \( b^2 = 7 \) в уравнении \( a^2 + b^2 = 16 \): \[ a^2 + 7 = 16 \implies a^2 = 9 \implies a = 3. \]
Теперь у нас есть все параметры: \( a = 3, b = \sqrt{7}, h = 3 \).
Сложим вектор \( DB_1 \): Точки \( D(0, \sqrt{7}, 0) \) и \( B_1(3, 0, 3) \). Вектор \( DB_1 \): \[ DB_1 = B_1 - D = (3, 0, 3) - (0, \sqrt{7}, 0) = (3, -\sqrt{7}, 3). \]
Найдем длину вектора \( DB_1 \): \[ |DB_1| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{7})^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 7 + 9} = \sqrt{25} = 5. \]
Найдем нормальный вектор к плоскости основания: Плоскость основания \( ABCD \) имеет нормальный вектор \( (0, 0, 1) \).
Находим угол между вектором \( DB_1 \) и нормальным вектором: Сначала найдем косинус угла \( \phi \): \[ \cos \phi = \frac{DB_1 \cdot (0, 0, 1)}{|DB_1| \cdot |(0, 0, 1)|} = \frac{3}{5 \cdot 1} = \frac{3}{5}. \]
Следовательно, \( \sin \phi \) можно найти по формуле \( \sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1 \): \[ \sin^2 \phi = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \implies \sin \phi = \frac{4}{5}. \]
Таким образом, синус угла между \( DB_1 \) и плоскостью основания равен \( \frac{4}{5} \).
