(dx)/(3x + B) = ydy. Решить дифференциальные уравнения с разделёнными переменными.
Чтобы решить дифференциальное уравнение \(\frac{dx}{3x + B} = y dy\) с разделёнными переменными, начнем с раздельного интегрирования.
Разделим переменные: Уравнение уже имеет разделенные переменные. С левой стороны у нас \(\frac{dx}{3x + B}\), а с правой — \(y dy\).
Интегрируем обе стороны: Теперь мы можем интегрировать обе стороны: \[ \int \frac{dx}{3x + B} = \int y dy. \]
Для левой стороны используем замену переменной, где \(u = 3x + B\), следовательно, \(du = 3 dx\) или \(dx = \frac{du}{3}\). Тогда мы можем переписать интеграл как: \[ \int \frac{dx}{3x + B} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{3} \ln |3x + B|. \]
Для правой стороны: \[ \int y dy = \frac{y^2}{2}. \]
Таким образом, мы имеем: \[ \frac{1}{3} \ln |3x + B| = \frac{y^2}{2} + C, \] где \(C\) — произвольная константа интегрирования.
Упростим уравнение: Умножим обе стороны уравнения на 3: \[ \ln |3x + B| = \frac{3y^2}{2} + 3C. \]
Мы можем объединить \(3C\) и обозначить его как новую константу \(C'\): \[ \ln |3x + B| = \frac{3y^2}{2} + C'. \]
Экспоненцируем обе стороны: Чтобы избавиться от логарифма, применим экспоненту: \[ |3x + B| = e^{\frac{3y^2}{2} + C'} = e^{C'} e^{\frac{3y^2}{2}}. \]
Обозначим \(e^{C'}\) как новую постоянную \(k > 0\): \[ 3x + B = k e^{\frac{3y^2}{2}}. \]
Наконец, выразим \(x\): Решая для \(x\), получаем: \[ x = \frac{k e^{\frac{3y^2}{2}} - B}{3}. \]
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения есть: \[ x = \frac{k e^{\frac{3y^2}{2}} - B}{3}, \quad k > 0. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное пояснение по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!
