y=4 :9-x2-1:2x найти ОДЗ и построить график
Чтобы найти область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y = \frac{4}{9 - x^2} - \frac{1}{2x} \), нужно учитывать условия, при которых выражение имеет смысл.
Первый член \(\frac{4}{9 - x^2}\):
- Должно выполняться: \(9 - x^2 \neq 0\).
- Это неравенство выполняется, если \(x^2 \neq 9\), то есть \(x \neq 3\) и \(x \neq -3\).
Второй член \(-\frac{1}{2x}\):
- Должно выполняться: \(2x \neq 0\).
- Это неравенство выполняется, если \(x \neq 0\).
Теперь объединим все условия:
- \(x \neq -3\)
- \(x \neq 0\)
- \(x \neq 3\)
Таким образом, ОДЗ функции можно записать как: \[ x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, +\infty) \]
Теперь давайте построим график функции.
Построение графика
Исследуем поведение функции:
- Найдем асимптоты.
- Есть вертикальные асимптоты в точках \(x = -3\) и \(x = 0\), так как в этих точках функция не определена.
- Горизонтальная асимптота отсутствует, поскольку значение функции может стремиться к \(+\infty\) или \(-\infty\) при подходе к вертикальным асимптотам.
Найдем значения функции в контрольных точках:
- Например, найдём значения функции для \(x = -4\), \(x = -2\), \(x = 1\), \(x = 4\) и т.д., чтобы оценить поведение функции.
Построим график с учетом всех вышеизложенных данных.
Минимальные значения:
- \(x = -4\): \(y = \frac{4}{9-(-4)^2} - \frac{1}{2(-4)} = \frac{4}{9-16} + \frac{1}{8} = \frac{4}{-7} + \frac{1}{8}\)
- \(x = -2\): \(y = \frac{4}{9 - 4} - \frac{1}{-4} = \frac{4}{5} + \frac{1}{4}\)
- \(x = 1\): \(y = \frac{4}{9-1} - \frac{1}{2} = \frac{4}{8} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\)
- \(x = 4\): \(y = \frac{4}{9-16} - \frac{1}{8} = -\frac{4}{7} - \frac{1}{8}\)
Построение графика
На графике будут вертикальные асимптоты в \(x = -3\) и \(x = 0\). Подходя к этим значениям с разных сторон, функция достигает больших положительных или отрицательных значений.
Для более точного построения графика рекомендуется использовать графические калькуляторы или компьютерные программы, такие как Desmos, GeoGebra и т.д.
