15cos^2x+12cosx-3=0

Чтобы решить уравнение \( 15\cos^2x + 12\cos x - 3 = 0 \), сначала можно сделать замену переменной. Обозначим \( y = \cos x \). Тогда наше уравнение принимает вид:

\[ 15y^2 + 12y - 3 = 0. \]

Теперь мы можем использовать формулу квадратичного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 15 \), \( b = 12 \) и \( c = -3 \).

Сначала вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-3) = 144 + 180 = 324. \]

Теперь находим корни:

\[ y = \frac{-12 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 15} = \frac{-12 \pm 18}{30}. \]

Таким образом, у нас два случая:

1. \( y_1 = \frac{-12 + 18}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \)
2. \( y_2 = \frac{-12 - 18}{30} = \frac{-30}{30} = -1 \)

Теперь возвращаемся к переменной \( y \). У нас есть два значения:

1. \( \cos x = \frac{1}{5} \)
2. \( \cos x = -1 \)

Решим каждое из этих уравнений для \( x \).

1. Для \( \cos x = \frac{1}{5} \):

   • \( x = \arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2k\pi \) и \( x = -\arccos\left(\frac{1}{5}\right) + 2k\pi \), где \( k \) — произвольное целое число.

2. Для \( \cos x = -1 \):

   • \( x = \pi + 2k\pi \), где \( k \) — произвольное целое число.

Это все решения данного уравнения. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!