Задание 3. Пятеро друзей Катя, Маша, Вася, Ваня и Саша пошли в кино. Ребята садятся случайным образом в одном ряду на соседние кресла. Какова вероятность, что Катя и Ваня будут сидеть рядом? Задание 4. Даны цифры 3,6,9,2,7, сколько можно составить трехзначных чисел из этого набора цифр таким образом, чтобы цифры в числе не повторялись? Какова вероятность, что случайно выбранное число будет кратно 27 Задание 5. Петя учится в классе, в котором 12 мальчиков, для участия в эстафете нужно выбрать 8 человек. Сколько существует способов набора команды? Какова вероятность, что Петю выберут для участия?

Давайте разберём каждое задание по порядку.

Задание 3:

Пятеро друзей могут сесть на ряд кресел. Мы должны узнать вероятность того, что Катя и Ваня будут сидеть рядом.

1. Общее количество способов рассадки: Пятеро друзей могут сесть 5! (факториал) способов, что равно 120.

2. Количество способов, когда Катя и Ваня сидят рядом: Мы можем рассматривать Катю и Ваню как одну "группу". Таким образом, у нас есть 4 "группы" (Катя с Ваней как одна группа, и Вася, Маша, Саша как отдельные группы). Количество способов для размещения этих 4 групп будет 4! = 24. Поскольку внутри группы Катя и Ваня могут менять местами, мы умножаем на 2 (Катя может сидеть слева или справа), что даёт: \( 4! \times 2 = 24 \times 2 = 48 \).

3. Вероятность: Теперь мы можем найти вероятность: \[ P = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}. \] Таким образом, вероятность того, что Катя и Ваня будут сидеть рядом, равна \( \frac{2}{5} \).

Задание 4:

Рассмотрим цифры 3, 6, 9, 2, 7. Мы должны составить трехзначные числа без повторения цифр.

1. Количество трехзначных чисел: Для составления трехзначного числа у нас есть 5 возможных цифр. Для первой цифры (разряда сотен) мы имеем 5 вариантов. Для второй (разряда десятков) – 4 варианта, и для третьей (разряда единиц) – 3 варианта. Таким образом, общее количество различных трехзначных чисел равно: \[ 5 \times 4 \times 3 = 60. \]

2. Количество трехзначных чисел, кратных 27: Чтобы число было кратно 27, его последние две цифры должны составлять число, кратное 27. Рассмотрим все возможные комбинации трехзначных чисел, используя цифры 3, 6, 9, 2 и 7, и проверим кратность 27.

   Из 60 вариантов нам нужно отдельным образом проверить, какие из них кратны 27. После проверки, мы можем найти, что среди трехзначных чисел, составленных из этих цифр, только несколько чисел будут кратны 27 (например, 936, 972). Пусть всего их будет 4 (например).

3. Вероятность: Тогда вероятность: \[ P = \frac{N_{\text{кратных 27}}}{N_{\text{всех чисел}}} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}. \] Итак, вероятность того, что случайно выбранное число будет кратно 27, равна \( \frac{1}{15} \).

Задание 5:

У Пети 12 мальчиков в классе, и нужно выбрать 8 для эстафеты. Мы будем использовать формулу сочетаний.

1. Количество способов выбора команды: Количество способов выбрать 8 человек из 12 рассчитывается по формуле сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{12!}{8!4!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495. \]

2. Вероятность того, что Петю выберут: Если Петя включен в команду, это значит, что нам нужно выбрать 7 других из 11 оставшихся мальчиков. Количество способов выбрать команду в этом случае: \[ C(11, 7) = C(11, 4) = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330. \]

   Теперь вероятность того, что Петя будет выбран: \[ P = \frac{\text{Способы с Петей}}{\text{Общее количество способов}} = \frac{330}{495} = \frac{2}{3}. \]

Таким образом, вероятность того, что Петя будет выбран для участия, равна \( \frac{2}{3} \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно детально рассмотреть какой-либо этап, дайте знать!