Радиус круга равен 6. Найди отношение площади кругового сектора данного круга, соответствующего углу в 21∘, к площади кругового сектора данного круга, ограниченного дугой длиной 7π.
Чтобы найти отношение площадей круговых секторов, начнем с формул, которые нам понадобятся.
Площадь кругового сектора: Площадь сектора можно вычислить по формуле:
\[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \]
где \( \theta \) — угол сектора в градусах, а \( r \) — радиус круга.Площадь кругового сектора, соответствующего углу в 21°:
Подставим радиус \( r = 6 \) и угол \( \theta = 21^\circ \):
\[ S_1 = \frac{21}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{21}{360} \cdot \pi \cdot 36 = \frac{21 \cdot 36\pi}{360} = \frac{756\pi}{360} = \frac{21\pi}{10} \]Площадь кругового сектора, ограниченного дугой длиной \( 7\pi \):
Длина дуги \( L \) сектора связана с углом сектора формулой:
\[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi r \]
Подставим известные значения \( L = 7\pi \) и \( r = 6 \):
\[ 7\pi = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 \] Упростим уравнение: \[ 7 = \frac{\theta}{360} \cdot 12 \] Умножим на \( 360 \): \[ 2520 = 12\theta \] Разделим на 12: \[ \theta = 210^\circ \]Теперь найдем площадь сектора с углом \( 210^\circ \): \[ S_2 = \frac{210}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{210}{360} \cdot \pi \cdot 36 = \frac{210 \cdot 36\pi}{360} = \frac{7560\pi}{360} = 21\pi \]
Теперь найдем отношение площадей: \[ \text{Отношение} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{21\pi}{10}}{21\pi} = \frac{1}{10} \]
Таким образом, отношение площади кругового сектора, соответствующего углу в 21°, к площади кругового сектора, ограниченного дугой длиной \( 7\pi \), равно \( \frac{1}{10} \).
