На сторонах АВ, ВС, СD и АD квадрата АВСD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР = ВМ = СЕ = DК = 5 см, ∠АКР = 60°. Чему равен периметр четырехугольника РМЕК, если…

Для начала, поскольку периметр квадрата ABCD равен 32 см, мы можем найти длину стороны квадрата. Периметр квадрата вычисляется по формуле:

\[ P = 4a \]

где \( P \) – периметр, а \( a \) – длина стороны квадрата. Разделим периметр на 4:

\[ a = \frac{32}{4} = 8 \text{ см} \]

Теперь у нас есть длина стороны квадрата. Далее, давайте определим положения точек Р, М, Е и К на сторонах квадрата:

• Точка Р находится на стороне AB на расстоянии 5 см от точки A.
• Точка М на стороне BC, также на расстоянии 5 см от точки B.
• Точка Е на стороне CD на расстоянии 5 см от точки C.
• Точка К на стороне AD на расстоянии 5 см от точки D.

Теперь определим координаты этих точек, принимая за точку A координаты (0, 0) и располагая квадрат в координатной плоскости:

• A(0, 0)
• B(8, 0)
• C(8, 8)
• D(0, 8)

Таким образом, координаты точек будут следующими:

• Р(5, 0)
• М(8, 5)
• Е(3, 8)
• К(0, 5)

Теперь нам необходимо найти длины сторон четырехугольника РМЕК и сложить их. Для этого можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Теперь найдем длины сторон:

1. РМ: \[ d_{РМ} = \sqrt{(8 - 5)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

2. МЕ: \[ d_{МЕ} = \sqrt{(3 - 8)^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \]

3. ЕК: \[ d_{ЕК} = \sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

4. КР: \[ d_{КР} = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Теперь складываем все длины, чтобы найти периметр четырехугольника РМЕК:

\[ P_{РМЕК} = d_{РМ} + d_{МЕ} + d_{ЕК} + d_{КР} = \sqrt{34} + \sqrt{34} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \]

\[ P_{РМЕК} = 2\sqrt{34} + 8\sqrt{2} \]

Таким образом, периметр четырехугольника РМЕК равен \( 2\sqrt{34} + 8\sqrt{2} \) см.