Sqrt(2x + 10) < 3x - 5
Для решения неравенства \(\sqrt{2x + 10} < 3x - 5\) давайте последовательно рассмотрим основные шаги.
Определение допустимых значений: Сначала необходимо определить, при каких условиях выражение под квадратным корнем положительно, так как корень из отрицательного числа не существует. Поэтому: \[ 2x + 10 \geq 0 \implies 2x \geq -10 \implies x \geq -5. \]
Квадрат обеих сторон: Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Но при этом нужно помнить, что при возведении в квадрат неравенства могут меняться. Так что сначала убедимся, что правая сторона положительна: \[ 3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3}. \]
Теперь давайте квадрат обеих сторон: \[ (\sqrt{2x + 10})^2 < (3x - 5)^2. \] Получаем: \[ 2x + 10 < (3x - 5)(3x - 5). \]
Раскроем правую часть: \[ 2x + 10 < 9x^2 - 30x + 25. \]
Приведение всех членов к одной стороне: Переносим все члены в одну сторону для получения стандартного вида неравенства: \[ 0 < 9x^2 - 30x + 25 - 2x - 10, \] что упрощается до: \[ 0 < 9x^2 - 32x + 15. \]
Решение квадратного неравенства: Для этого найдем корни квадратного уравнения \(9x^2 - 32x + 15 = 0\) с помощью формулы решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 15}}{2 \cdot 9}. \] Вычисления: \[ x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 540}}{18} = \frac{32 \pm \sqrt{484}}{18} = \frac{32 \pm 22}{18}. \] Затем находим два корня: \[ x_1 = \frac{54}{18} = 3, \quad x_2 = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}. \]
Анализ знака: Теперь нам нужно определить, когда \(9x^2 - 32x + 15 > 0\). У нас есть два корня: \(x = \frac{5}{9}\) и \(x = 3\). Поэтому исследуем интервалы:
- Для \(x < \frac{5}{9}\), например, \(x = 0\): \(9(0)^2 - 32(0) + 15 > 0\) (истинно).
- Для \(\frac{5}{9} < x < 3\), например, \(x = 2\): \(9(2)^2 - 32(2) + 15 < 0\) (ложно).
- Для \(x > 3\), например, \(x = 4\): \(9(4)^2 - 32(4) + 15 > 0\) (истинно).
Учет условий: Напомним, что мы также учитывали условия \(x \geq -5\) и \(x > \frac{5}{3}\). Таким образом, окончательное решение: \[ x < \frac{5}{9} \quad \text{или} \quad x > 3. \]
Однако, так как \(x > \frac{5}{3}\), мы оставляем только: \[ x > 3. \]
В заключение, решение неравенства \(\sqrt{2x + 10} < 3x - 5\) будет: \[ x > 3. \]
