вычисли третью сторону треугольника, если две его сторону соответственно равны 5 см и 7 см а угол между ними равен 120 градусам

Для вычисления третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, можно воспользоваться теоремой косинусов. Она формулируется следующим образом:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

где:

• \( c \) — искомая сторона,
• \( a \) и \( b \) — известные стороны (в данном случае 5 см и 7 см),
• \( \gamma \) — угол между известными сторонами (120 градусов).

Сначала подставим известные значения в формулу:

1. \( a = 5 \) см,
2. \( b = 7 \) см,
3. \( \gamma = 120 \) градусов.

В первую очередь нужно вычислить \( \cos(120^\circ) \). Зная, что \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), подставим все значения:

\[ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

Теперь вычислим:

1. \( 5^2 = 25 \),
2. \( 7^2 = 49 \),
3. \( 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -35 \). Обратите внимание, что знак минус убирается, поскольку мы умножаем на \( -\frac{1}{2} \).

Теперь подставим значения в уравнение:

\[ c^2 = 25 + 49 + 35 \] \[ c^2 = 109 \]

Теперь извлекаем квадратный корень:

\[ c = \sqrt{109} \]

Это приблизительно равно 10.44 см.

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 10.44 см.