(х²+6х) ²-5(х²+6х) =24

Решим уравнение \((x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) = 24\).

1. Сначала обозначим \(y = x^2 + 6x\). Тогда уравнение принимает вид: \[ y^2 - 5y - 24 = 0 \]

2. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -24\): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \]

3. Поскольку дискриминант положительный, это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

4. Теперь вернемся к переменной \(y = x^2 + 6x\). Рассмотрим оба случая:

   • Для \(y_1 = 8\): \[ x^2 + 6x - 8 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{17}}{2} = -3 + \sqrt{17} \] \[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{17}}{2} = -3 - \sqrt{17} \]

   • Для \(y_2 = -3\): \[ x^2 + 6x + 3 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24 \] Корни: \[ x_3 = \frac{-6 + \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 + 2\sqrt{6}}{2} = -3 + \sqrt{6} \] \[ x_4 = \frac{-6 - \sqrt{24}}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{6}}{2} = -3 - \sqrt{6} \]

Таким образом, мы получили четыре корня уравнения:

\[ x_1 = -3 + \sqrt{17}, \quad x_2 = -3 - \sqrt{17}, \quad x_3 = -3 + \sqrt{6}, \quad x_4 = -3 - \sqrt{6} \]

Если у вас возникли дополнительные вопросы или вам нужно разъяснение каких-то шагов, не стесняйтесь спрашивать!