в треугольнике АВС известно, что АВ=14 см, угол А= 20° В=70°. Найдите медиану проведённую к стороне АВ
Чтобы найти медиану, проведённую к стороне \( AB \) в треугольнике \( ABC \), нам нужно воспользоваться формулой длины медианы. Если медиана проведена к стороне \( AB \), то её длина \( m_{C} \) может быть найдена по формуле:
\[ m_{C} = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \]
Где:
- \( AB = 14 \) см (дано),
- \( AC \) и \( BC \) нужно сначала найти.
- Сначала найдем длины сторон \( AC \) и \( BC \) с использованием закона синусов. Угол \( C \) можно найти с помощью теоремы о сумме углов в треугольнике: \[ C = 180° - A - B = 180° - 20° - 70° = 90° \]
Так, треугольник \( ABC \) является прямоугольным с углом \( C = 90° \).
- Теперь можем использовать закон синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}. \] Подставим известные значения: \[ \frac{14}{\sin 90°} = \frac{AC}{\sin 70°} = \frac{BC}{\sin 20°}. \]
Зная, что \( \sin 90° = 1 \): \[ 14 = \frac{AC}{\sin 70°} \implies AC = 14 \cdot \sin 70°, \] \[ 14 = \frac{BC}{\sin 20°} \implies BC = 14 \cdot \sin 20°. \]
- Теперь найдем \( AC \) и \( BC \):
- \( AC = 14 \cdot \sin 70° \approx 14 \cdot 0.9397 \approx 13.16 \) см,
- \( BC = 14 \cdot \sin 20° \approx 14 \cdot 0.3420 \approx 4.79 \) см.
- Теперь подставим эти значения в формулу медианы: \[ m_{C} = \frac{1}{2} \sqrt{2(14^2) + 2(13.16^2) - (4.79^2)}. \]
Вычислим:
- \( 14^2 = 196 \),
- \( 13.16^2 \approx 173.1856 \),
- \( 4.79^2 \approx 22.9441 \).
Теперь подставим: \[ m_{C} = \frac{1}{2} \sqrt{2(196) + 2(173.1856) - 22.9441} = \frac{1}{2} \sqrt{392 + 346.3712 - 22.9441}. \] \[ m_{C} = \frac{1}{2} \sqrt{715.4271} \approx \frac{1}{2} \times 26.75 \approx 13.375 \text{ см}. \]
Таким образом, длина медианы, проведённой к стороне \( AB \), составляет приблизительно 13.38 см.
