Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 ч быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла…

Чтобы решить эту задачу, давайте представим ее в виде таблицы, которая будет описывать скорость, время и работу двух бригад.

Обозначим:

• \( x \) — время, за которое первая бригада справится с заданием одна, в часах.
• \( y \) — время, за которое вторая бригада справится с заданием одна, в часах.

Из условия задачи мы знаем, что первая бригада на 12 часов быстрее второй, то есть: \[ x = y - 12 \]

Также, когда обе бригады работают вместе, они выполняют задание за 8 часов. В таком случае, скорость работы первой бригады составит \( \frac{1}{x} \) задания в час, а скорость второй — \( \frac{1}{y} \) задания в час. Объединив их скорости, мы получаем: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \]

Теперь подставим \( x \) из первого уравнения во второе. Мы заменим \( x \) на \( y - 12 \): \[ \frac{1}{y - 12} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \]

Теперь нужно решить это уравнение:

1. Умножим каждую часть уравнения на \( 8y(y - 12) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 8y + 8(y - 12) = y(y - 12) \]

2. Раскроем скобки: \[ 8y + 8y - 96 = y^2 - 12y \] \[ 16y - 96 = y^2 - 12y \]

3. Переносим все в одну сторону: \[ y^2 - 12y - 16y + 96 = 0 \] \[ y^2 - 28y + 96 = 0 \]

4. Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 784 - 384 = 400 \]

5. Находим корни уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm 20}{2} \]

Таким образом, получаем два корня: \[ y_1 = \frac{48}{2} = 24 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Так как \( y \) — это время, за которое вторая бригада выполняет задание, и не может быть меньше 12 (по условиям), берем \( y = 24 \).

Теперь подставляем \( y \) обратно, чтобы найти \( x \): \[ x = y - 12 = 24 - 12 = 12 \]

Таким образом, первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание за 12 часов.