В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН-высота, АВ=9, АН=4. Найти АС
Решим задачу шаг за шагом.
В треугольнике ABC угол C равен 90°. Это означает, что треугольник прямоугольный, и мы можем использовать свойства прямоугольных треугольников для решения.
Дано:
- Длина стороны AB (гипотенуза) = 9,
- Длина отрезка AH (высота из вершины A на сторону BC) = 4.
Нам нужно найти длину стороны AC. Обозначим:
- AC = x,
- BC = y.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC у нас есть следующее уравнение:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2. \] Таким образом, можем записать:
\[ 9^2 = x^2 + y^2 \quad (1). \]
Теперь, используя высоту CH, мы можем выразить длинну отрезков AC и BC через отношение площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:
Используя основание и высоту: \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot y \cdot 4 = 2y. \]
Используя стороны AC и BC: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y. \]
Поскольку обе эти площади равны, можем записать:
\[ 2y = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y. \]
Упростим это уравнение. При условии, что y ≠ 0, мы можем разделить обе стороны на y:
\[ 2 = \frac{1}{2} \cdot x. \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ 4 = x. \]
Теперь мы знаем, что AC = 4.
Чтобы найти BC, подставим значение AC в уравнение (1):
\[ 9^2 = 4^2 + y^2, \] \[ 81 = 16 + y^2, \] \[ y^2 = 81 - 16, \] \[ y^2 = 65, \] \[ y = \sqrt{65}. \]
Таким образом, мы нашли длины сторон. Ответ:
AC = 4.
