Решите неравенство: |x2+6x|<27
Решим неравенство \( |x^2 + 6x| < 27 \).
Для этого сначала рассмотрим два случая:
- \( x^2 + 6x < 27 \)
- \( x^2 + 6x > -27 \)
1. Решаем первое неравенство:
\[ x^2 + 6x < 27 \] Приведем к стандартному виду: \[ x^2 + 6x - 27 < 0 \] Теперь найдем корни соответствующего уравнения: \[ x^2 + 6x - 27 = 0 \] Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1\), \( b = 6\), \( c = -27 \).
Сначала найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 12}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-18}{2} = -9 \] Таким образом, неравенство \( x^2 + 6x - 27 < 0 \) имеет корни \( x = -9 \) и \( x = 3 \). Теперь найдем промежутки, где это неравенство выполняется.
Промежутки: \( (-\infty, -9) \), \( (-9, 3) \), \( (3, +\infty) \). Чтобы определить знак в каждом из промежутков, выберем тестовые точки:
Для \( x = -10 \) в промежутке \( (-\infty, -9) \): \[ (-10)^2 + 6 \cdot (-10) - 27 = 100 - 60 - 27 = 13 > 0 \]
Для \( x = 0 \) в промежутке \( (-9, 3) \): \[ (0)^2 + 6 \cdot (0) - 27 = -27 < 0 \]
Для \( x = 4 \) в промежутке \( (3, +\infty) \): \[ (4)^2 + 6 \cdot (4) - 27 = 16 + 24 - 27 = 13 > 0 \]
Итак, \( x^2 + 6x - 27 < 0 \) выполняется на промежутке \( (-9, 3) \).
2. Решаем второе неравенство:
\[ x^2 + 6x > -27 \] Приведем к стандартному виду: \[ x^2 + 6x + 27 > 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 36 - 108 = -72 \] Дискриминант отрицательный, значит, парабола не пересекает ось абсцисс и открыта вверх. Это значит, что неравенство \( x^2 + 6x + 27 > 0 \) выполняется для всех \( x \).
Объединение решений:
С учетом двух неравенств, мы имеем:
- \( x \in (-9, 3) \) из первого неравенства.
- \( x \in \mathbb{R} \) из второго неравенства.
Таким образом, окончательное решение неравенства: \[ x \in (-9, 3) \]
