В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ACD = 21°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

В параллелограмме ABCD давайте обозначим сторону AB как \( a \), тогда диагональ AC будет равна \( 2a \). Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, угол \(\angle ACD\) также равен 21°.

Теперь мы можем использовать закон косинусов для нахождения угла между диагоналями. Углы между диагоналями обозначим как \(\alpha\).

По закону косинусов, для треугольника ACD имеем:

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD) \]

Мы знаем, что AD = BC = a (так как стороны параллелограмма равны), и CD = AB = a. Таким образом:

\[ (2a)^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(21^\circ) \]

Произведем вычисления:

\[ 4a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(21^\circ) \]

Упрощаем уравнение:

\[ 4a^2 = 2a^2(1 - \cos(21^\circ)) \]

Разделим обе стороны на \(2a^2\) (при \(a \neq 0\)):

\[ 2 = 1 - \cos(21^\circ) \]

Таким образом, находим \(\cos(21^\circ)\):

\[ \cos(21^\circ) = -1 \]

Однако это неверно, так как значение косинуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1.

Таким образом, чтобы найти угол между диагоналями, можно использовать свойства параллелограмма. Углы между диагоналями – это углы, смежные с углом между сторонами, а значит, они могут быть найдены как \( \alpha = 180^\circ - 2 \cdot \angle ACD \).

Подставим значение:

\[ \alpha = 180^\circ - 2 \cdot 21^\circ = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ. \]

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма равен 138°.