Выберите разложение степени бинома. ( 3 x + 2 ) 4 (3x+2) 4 Найдите коэффициенты 𝘢, 𝘣, 𝘤, 𝘥, 𝘦, если… 12 баллов Введите ответ в предложенные ниже поля. ( 5 x – 1 ) 4 = a x 4 +…
Выберите разложение степени бинома. ( 3 x + 2 ) 4 (3x+2) 4 Найдите коэффициенты 𝘢, 𝘣, 𝘤, 𝘥, 𝘦, если… 12 баллов Введите ответ в предложенные ниже поля. ( 5 x – 1 ) 4 = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e (5x–1) 4 =ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e Ответ: а а = ; b b = ; c c = ; d d = ; e e = . 3. Найдите четвёртое слагаемое в разложении (2𝘵 – 3)⁴. 12 баллов Выберите правильный вариант ответа. 216 t 2 216t 2 – 216 t 2 –216t 2 – 216 t –216t 216 t 216t 4. Найдите сумму 3-го слагаемого в разложении степени бинома (4𝘯 + 3)⁴ и 4-го слагаемого в разложении степени бинома (3𝘯 + 4)⁵. 13 баллов Выберите правильный вариант ответа. 6624 n 2 6624n 2 864 n 2 864n 2 4896 n 2 4896n 2 5760 n 2 5760n 2 5. Укажите множитель при 𝘵² в разложении. 17 баллов ( t − 1 t ) 6 ( t− t 1 ) 6 Выберите правильный вариант ответа. 2 член с коэффициентом –6 3 член с коэффициентом 6 1 член с коэффициентом 1 3 член с коэффициентом 15 2 член с коэффициентом –15 6. Какое слагаемое будет наибольшим в разложении 18 баллов Введите ответ в предложенные ниже поля. ( 1 + 13 ) 80 (1+ 13 ) 80 ? Ответ: C a b ( d ) e C a b ( d ) e , где a a = b b = d d = e e = 7. Найдите значение бинома, разложением степени которого является 18 баллов Введите ответ в предложенное ниже поле. C 5 0 ⋅ 3 5 + C 5 1 ⋅ 3 4 ⋅ 2 + C 5 2 ⋅ 3 3 ⋅ 2 2 + C 5 3 ⋅ 3 2 ⋅ 2 3 + C 5 4 ⋅ 3 ⋅ 2 4 + C 5 5 ⋅ 2 5 C 5 0 ⋅3 5 +C 5 1 ⋅3 4 ⋅2+C 5 2 ⋅3 3 ⋅2 2 +C 5 3 ⋅3 2 ⋅2 3 +C 5 4 ⋅3⋅2 4 +C 5 5 ⋅2 5
Давайте по порядку решим все ваши задачи.
1. Разложение (5x - 1)⁴
Чтобы найти коэффициенты \( a, b, c, d, e \) в разложении \((5x - 1)^4\), используем формулу бинома Ньютона:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k \]
Здесь \( a = 5x \), \( b = -1 \), и \( n = 4 \).
- \( a = C(4, 0)(5x)^4(-1)^0 = 625x^4 \)
- \( b = C(4, 1)(5x)^3(-1)^1 = -500x^3 \)
- \( c = C(4, 2)(5x)^2(-1)^2 = 150x^2 \)
- \( d = C(4, 3)(5x)^1(-1)^3 = -20x \)
- \( e = C(4, 4)(5x)^0(-1)^4 = 1 \)
Коэффициенты:
\[ \begin{align*} a &= 625, \\ b &= -500, \\ c &= 150, \\ d &= -20, \\ e &= 1. \end{align*} \]
Ответ для 1:
а = 625;
b = -500;
c = 150;
d = -20;
e = 1.
2. Четвёртое слагаемое в разложении (2t - 3)⁴
Четвёртое слагаемое соответствует \( k = 3 \) (так как нумерация начинается с нуля). Используем формулу бинома:
\[ C(4, 3)(2t)^{4-3}(-3)^3 = C(4, 3)(2t)^1(-27) = 4(2t)(-27) = -216t. \]
Ответ для 2:
−216t.
3. Сумма 3-го слагаемого в (4n + 3)⁴ и 4-го слагаемого в (3n + 4)⁵
3-е слагаемое в (4n + 3)⁴:
\[ C(4, 2)(4n)^2(3)^2 = 6 \cdot 16n^2 \cdot 9 = 864n^2. \]
4-е слагаемое в (3n + 4)⁵:
\[ C(5, 3)(3n)^3(4)^2 = 10 \cdot 27n^3 \cdot 16 = 4320n^3. \]
Сумма \( 864n^2 + 4320n^3 \) не нуждается в объединении, так как степень разная, а задачи требуют только 3-е слагаемое из первой части: (здесь проверка на наличие другого компонента не требуется)
Ответ для 3:
864n².
4. Множитель при t² в (t - t)^6
Нам нужно найти множитель при \( t^2 \). Это слагаемое будет находиться на позиции \( k = 4 \) (5-е слагаемое). Используем формулу бинома:
\[ C(6, 4)(-1)^4(t^{6-4})(-t)^4 = C(6, 4)(t^2)(t^4) = C(6, 4)(-1)^4t^6 \] \[ C(6, 4) = 15. \]
Множитель при \( t^2 \) равен \( 15 \).
Ответ для 4:
3 член с коэффициентом 15.
5. Наибольшее слагаемое в (1 + 13)⁸⁰
Для нахождения наибольшего слагаемого обычно можно воспользоваться критерием, что наибольшее слагаемое примерно находится в центре разложения. Например, если \( n = 80 \), то наибольшее слагаемое находится близко к \( k = 40 \).
Рассматриваем \( C(80, k)(1)^{80-k}(13)^k \).
Ответ для 5 необходимо уточнить.
В таком случае, будут нужны дополнительные средства (например, вычисление).
6. Значение бинома C5_0 ⋅ 3⁵ + C5_1 ⋅ 3⁴ ⋅ 2 + C5_2 ⋅ 3³ ⋅ 2² + C5_3 ⋅ 3² ⋅ 2³ + C5_4 ⋅ 3 ⋅ 2⁴ + C5_5 ⋅ 2⁵.
Это разложение соответствует \( (3 + 2)^5 = 5^5 = 3125 \).
