На сторонах АВ, ВС, СD и АD квадрата АВСD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР = ВМ = СЕ = DК = 5 см, ∠АКР = 60°. Чему равен периметр четырехугольника РМЕК, если периметр ABCD=32?

Для решения этой задачи начнем с анализа данных. Из условия мы знаем, что квадрат ABCD имеет периметр 32 см. Поскольку периметр квадрата равен 4*стороне, мы можем найти длину стороны квадрата:

\[ Сторона = \frac{Периметр}{4} = \frac{32}{4} = 8 \text{ см}. \]

Теперь можем обозначить вершины квадрата. Пусть:

• A(0, 0)
• B(8, 0)
• C(8, 8)
• D(0, 8)

Теперь отмечаем точки P, M, E и K на сторонах квадрата:

• Точка P на стороне AB, значит P(5, 0), так как AP = 5 см.
• Точка M на стороне BC, значит M(8, 5).
• Точка E на стороне CD, значит E(3, 8), так как CE = 5 см.
• Точка K на стороне DA, значит K(0, 3).

Теперь мы хотим найти периметр четырехугольника RMKE. Для этого нам нужно найти длины сторон PM, ME, EK и KR.

1. Находим длину PM: \[ PM = \sqrt{(8 - 5)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \, \text{см}. \]

2. Находим длину ME: \[ ME = \sqrt{(3 - 8)^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \, \text{см}. \]

3. Находим длину EK: \[ EK = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \, \text{см}. \]

4. Находим длину KR: \[ KR = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \, \text{см}. \]

Теперь можем найти периметр четырехугольника RMKE: \[ Периметр = PM + ME + EK + KR = \sqrt{34} + \sqrt{34} + \sqrt{34} + \sqrt{34} = 4\sqrt{34} \, \text{см}. \]

Таким образом, периметр четырехугольника РМЕК равен \( 4\sqrt{34} \) см.