Точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем 0,25?
Чтобы решить задачу, давайте сначала поймем, что мы имеем квадрат со стороной 1. Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри этого квадрата находится на расстоянии не больше 0,25 от ближайшей стороны квадрата.
Определим области внутри квадрата. Рассмотрим расстояния от сторон квадрата:
- Стороны квадрата расположены на координатах \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( y = 0 \) и \( y = 1 \).
Зона, где расстояние до ближайшей стороны не превышает 0,25. Для того чтобы расстояние до любой из сторон не превышало 0,25, необходимо, чтобы точка находилась в квадрате меньшего размера внутри исходного квадрата. Этот внутренний квадрат будет иметь стороны, параллельные сторонам исходного квадрата, и его углы будут расположены на координатах:
- \( x = 0.25 \) и \( x = 0.75 \) по оси \( x \)
- \( y = 0.25 \) и \( y = 0.75 \) по оси \( y \)
Выясним размеры внутреннего квадрата. Длина стороны этого внутреннего квадрата равна \( 1 - 2 \cdot 0.25 = 0.5 \).
Найдём площади:
- Площадь исходного квадрата: \( 1 \times 1 = 1 \)
- Площадь внутреннего квадрата: \( 0.5 \times 0.5 = 0.25 \)
Теперь найдём вероятность. Вероятность того, что случайная точка попадает в внутренний квадрат, можно найти, разделив площадь внутреннего квадрата на площадь исходного квадрата: \[ P = \frac{0.25}{1} = 0.25 \]
Таким образом, ответ на вопрос: вероятность того, что расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем 0,25, равна \( 0.25 \) или 25%.
