Докажите! что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренной?

Чтобы доказать, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный, рассмотрим следующий доказательство.

Пусть \(ABC\) — треугольник, и пусть \(M\) — середина стороны \(BC\). Обозначим \(h\) высоту, проведенную из вершины \(A\) к основанию \(BC\), и пусть медиана \(AM\) совпадает с высотой, то есть \(AM = h\).

1. Так как \(M\) — середина стороны \(BC\), то отрезки \(BM\) и \(MC\) равны: \(BM = MC\).

2. Угол \(AM\) (высота) перпендикулярен стороне \(BC\) в точке \(M\). Таким образом, мы имеем прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(ACM\).

3. В этих прямоугольных треугольниках:

   • \(AM\) — общая сторона (высота),
   • \(BM = MC\) — равные стороны,
   • Углы \(ABM\) и \(ACM\) прямо угловые.

4. Применяем теорему о признании равенства треугольников по двум сторонам и углу (SAS): Треугольники \(ABM\) и \(ACM\) имеют равные стороны \(AM\) и \(BM = MC\), а также равные углы при точке \(M\) (углы \(ABM\) и \(ACM\) равны 90 градусов). Это значит, что треугольники \(ABM\) и \(ACM\) равны.

5. В силу равенства треугольников \(ABM\) и \(ACM\) имеем: \[ AB = AC. \]

6. Таким образом, стороны \(AB\) и \(AC\) равны, и треугольник \(ABC\) является равнобедренным.

Мы доказали, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.