Найдите НОД и НОК чисел: а) 108 и 360; б) 72, 162 и 324; в) 56 и 35; г) 685 и 2110; д) 90 и 2197; е) 27, 90 и 144.

Давайте найдем наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) для указанных наборов чисел.

а) 108 и 360:

1. Находим НОД:

   • Разложим на простые множители:
     • 108 = \(2^2 \times 3^3\)
     • 360 = \(2^3 \times 3^2 \times 5^1\)
   • НОД = \(2^{\min(2,3)} \times 3^{\min(3,2)} = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)

2. Находим НОК:

   • НОК = \(2^{\max(2,3)} \times 3^{\max(3,2)} \times 5^{\max(0,1)} = 2^3 \times 3^3 \times 5^1 = 8 \times 27 \times 5 = 1080\)

Ответ: НОД = 36, НОК = 1080.

б) 72, 162 и 324:

1. НОД:

   • Разложим на простые множители:
     • 72 = \(2^3 \times 3^2\)
     • 162 = \(2^1 \times 3^4\)
     • 324 = \(2^2 \times 3^4\)
   • НОД = \(2^{\min(3,1,2)} \times 3^{\min(2,4,4)} = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18\)

2. НОК:

   • НОК = \(2^{\max(3,1,2)} \times 3^{\max(2,4,4)} = 2^3 \times 3^4 = 8 \times 81 = 648\)

Ответ: НОД = 18, НОК = 648.

в) 56 и 35:

1. НОД:

   • Разложим на простые множители:
     • 56 = \(2^3 \times 7^1\)
     • 35 = \(5^1 \times 7^1\)
   • НОД = \(2^{\min(3,0)} \times 7^{\min(1,1)} = 2^0 \times 7^1 = 1 \times 7 = 7\)

2. НОК:

   • НОК = \(2^{\max(3,0)} \times 5^{\max(0,1)} \times 7^{\max(1,1)} = 2^3 \times 5^1 \times 7^1 = 8 \times 5 \times 7 = 280\)

Ответ: НОД = 7, НОК = 280.

г) 685 и 2110:

1. НОД:

   • Разложим на простые множители:
     • 685 = \(5^1 \times 137^1\)
     • 2110 = \(2^1 \times 5^1 \times 211^1\)
   • НОД = \(2^{\min(0,1)} \times 5^{\min(1,1)} \times 137^{\min(1,0)} = 2^0 \times 5^1 = 1 \times 5 = 5\)

2. НОК:

   • НОК = \(2^{\max(0,1)} \times 5^{\max(1,1)} \times 137^{\max(1,0)} \times 211^{\max(0,1)} = 2^1 \times 5^1 \times 137^1 \times 211^1 = 2 \times 5 \times 137 \times 211 = 14510\)

Ответ: НОД = 5, НОК = 14510.

д) 90 и 2197:

1. НОД:

   • Разложим на простые множители:
     • 90 = \(2^1 \times 3^2 \times 5^1\)
     • 2197 = \(13^3\)
   • НОД = \(2^{\min(1,0)} \times 3^{\min(2,0)} \times 5^{\min(1,0)} \times 13^{\min(0,3)} = 2^0 \times 3^0 \times 5^0 \times 13^0 = 1\)

2. НОК:

   • НОК = \(2^{\max(1,0)} \times 3^{\max(2,0)} \times 5^{\max(1,0)} \times 13^{\max(0,3)} = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 13^3 = 2 \times 9 \times 5 \times 2197 = 197730\)

Ответ: НОД = 1, НОК = 197730.

е) 27, 90 и 144:

1. НОД:

   • Разложим на простые множители:
     • 27 = \(3^3\)
     • 90 = \(2^1 \times 3^2 \times 5^1\)
     • 144 = \(2^4 \times 3^2\)
   • НОД = \(2^{\min(0,1,4)} \times 3^{\min(3,2,2)} = 2^0 \times 3^2 = 1 \times 9 = 9\)

2. НОК:

   • НОК = \(2^{\max(0,1,4)} \times 3^{\max(3,2,2)} \times 5^{\max(0,1,0)} = 2^4 \times 3^3 \times 5^1 = 16 \times 27 \times 5 = 2160\)

Ответ: НОД = 9, НОК = 2160.

Если у вас есть дальнейшие вопросы или вы хотите разобрать что-то подробнее, дайте знать!