Две пружины жёсткостью k1 = 100 Н/м и k2 = 200 Н/м соединены так, как показано на рисунке 17.9. Снизу к системе пружин подвешен шар. Чему равно отношение потенциальных энергий пружин?

Чтобы найти отношение потенциальных энергий пружин, необходимо понять, как они соединены. Предположим, что пружины соединены последовательно. В этом случае общая жёсткость системы пружин \( k_{\text{общ}} \) можно найти по формуле:

\[ \frac{1}{k_{\text{общ}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{1}{k_{\text{общ}}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{200} \]

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{k_{\text{общ}}} = \frac{2}{200} + \frac{1}{200} = \frac{3}{200} \]

Теперь найдём общую жёсткость:

\[ k_{\text{общ}} = \frac{200}{3} \approx 66.67 \text{ Н/м} \]

Потенциальная энергия \( U \) пружины определяется формулой:

\[ U = \frac{1}{2} k x^2 \]

где \( k \) — жёсткость пружины, а \( x \) — деформация пружины.

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — деформации пружин \( k_1 \) и \( k_2 \) соответственно, тогда потенциальные энергии пружин можно записать как:

\[ U_1 = \frac{1}{2} k_1 x_1^2 \] \[ U_2 = \frac{1}{2} k_2 x_2^2 \]

При последовательном соединении деформации пружин равны. Деформация \( x \) в системе будет одинаковой, поэтому \( x_1 = x_2 = x \).

Таким образом, отношение потенциальных энергий пружин можно выразить как:

\[ \frac{U_1}{U_2} = \frac{\frac{1}{2} k_1 x^2}{\frac{1}{2} k_2 x^2} = \frac{k_1}{k_2} \]

Теперь подставим значения жёсткостей:

\[ \frac{U_1}{U_2} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, отношение потенциальных энергий пружин \( U_1 \) и \( U_2 \) равно \( \frac{1}{2} \).