3. С неподвижной лодки массой 200 кг прыгает мальчик массой 50 кг в горизонтальном направлении со скоростью 5 м/с. Како- ва скорость лодки после прыжка мальчика?
Для решения задачи о мгновенном движении системы «мальчик-лодка» воспользуемся законом сохранения импульса. Согласно этому закону, в замкнутой системе (без внешних сил) общий импульс до события равен общему импульсу после события.
- Определим начальный импульс системы.
Перед прыжком мальчика лодка неподвижна, а значит её скорость равна 0 м/с. Импульс лодки составляет:
\[ p_{\text{лодка}} = m_{\text{лодка}} \cdot v_{\text{лодка}} = 200 \, \text{кг} \cdot 0 \, \text{м/с} = 0 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
Импульс мальчика перед прыжком:
\[ p_{\text{мальчик}} = m_{\text{мальчик}} \cdot v_{\text{мальчик}} = 50 \, \text{кг} \cdot 5 \, \text{м/с} = 250 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
Таким образом, общий начальный импульс системы составляет:
\[ p_{\text{нач}} = p_{\text{лодка}} + p_{\text{мальчик}} = 0 + 250 = 250 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]
- Определим конечный импульс системы.
После прыжка мальчик движется горизонтально со скоростью 5 м/с. Обозначим скорость лодки после прыжка как \( v_{\text{лодка, после}} \).
Конечный импульс системы будет:
\[ p_{\text{конец}} = m_{\text{мальчик}} \cdot v_{\text{мальчик}} + m_{\text{лодка}} \cdot v_{\text{лодка, после}} \]
\[ p_{\text{конец}} = 50 \cdot 5 + 200 \cdot v_{\text{лодка, после}} \]
- Запишем закон сохранения импульса:
\[ p_{\text{нач}} = p_{\text{конец}} \]
Подставим известные значения:
\[ 250 = 250 + 200 \cdot v_{\text{лодка, после}} \]
- Решим уравнение относительно \( v_{\text{лодка, после}} \):
\[ 250 = 250 + 200 \cdot v_{\text{лодка, после}} \]
Выровняем уравнение:
\[ 0 = 200 \cdot v_{\text{лодка, после}} \]
Теперь решаем:
\[ v_{\text{лодка, после}} = -\frac{250}{200} \]
Сейчас вычислим скорость:
\[ v_{\text{лодка, после}} = -1.25 \, \text{м/с} \]
Отрицательное значение указывает на то, что лодка движется в противоположном направлении к направлению прыжка мальчика.
Таким образом, скорость лодки после прыжка мальчика составит 1.25 м/с в сторону, противоположную прыжку.
