В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции можно использовать формулу:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

где \( S \) — площадь трапеции, \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции.

В нашем случае основания равны 3 и 9, то есть \( a = 3 \) и \( b = 9 \). Нам необходимо найти высоту \( h \).

Зная угол между боковой стороной и основанием равным 45°, мы можем представить трапецию как прямоугольный треугольник. Поскольку боковые стороны равны, и это равнобедренная трапеция, высота \( h \) и половина разности оснований \( (b - a)/2 \) составляют стороны этого треугольника:

1. Разность оснований: \[ b - a = 9 - 3 = 6 \] Половина этой разности: \[ \frac{b - a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

2. Воспользуемся тождеством для треугольника, где угол равен 45°: \[ \tan(45°) = \frac{h}{\frac{b - a}{2}} = \frac{h}{3} \] Поскольку \( \tan(45°) = 1 \), это даёт нам: \[ h = 3 \]

Теперь, подставим значение высоты и основания в формулу для площади:

\[ S = \frac{(3 + 9) \cdot 3}{2} \] \[ S = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]

Таким образом, площадь трапеции составляет 18 квадратных единиц.