Груз, подвешенный на пружине жёсткостью 50 Н/м, совершает свободные вертикальные колебания с частотой 4 Гц. С какой частотой будет совершать свободные вертикальные колебания этот же груз, если его подвесить на пружину жёсткостью 200 Н/м? Ответ дайте в Гц.
Чтобы найти частоту колебаний груза, подвешенного на пружине, можно воспользоваться формулой для частоты собственных колебаний \( f \):
\[ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}, \]
где \( k \) — жёсткость пружины, \( m \) — масса груза.
- Сначала найдем массу груза из условия, что при жёсткости пружины 50 Н/м частота составляет 4 Гц:
\[ 4 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{50}{m}}. \]
Решим это уравнение для \( m \):
\[ 8\pi = \sqrt{\frac{50}{m}}. \]
Квадратим обе стороны:
\[ 64\pi^2 = \frac{50}{m}. \]
Отсюда получаем:
\[ m = \frac{50}{64\pi^2}. \]
Теперь найдём \( m \):
\[ m \approx \frac{50}{64 \cdot 9.87} \approx \frac{50}{631.68} \approx 0.0792 \text{ кг}. \]
- Теперь найдём частоту для пружины с жёсткостью 200 Н/м:
\[ f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{200}{m}}. \]
Подставим найденное значение \( m \):
\[ f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{200}{0.0792}}. \]
Вычислим подкоренное выражение:
\[ f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{2525.38}. \]
\[ \sqrt{2525.38} \approx 50.25. \]
Теперь найдём частоту:
\[ f' = \frac{50.25}{2\pi} \approx \frac{50.25}{6.2832} \approx 8.0 \, \text{Гц}. \]
Таким образом, груз, подвешенный на пружине жёсткостью 200 Н/м, будет совершать свободные вертикальные колебания с частотой приблизительно 8 Гц.
