X² + px +d=0 каждый раз коэфициент p и d увеличивают единицу, найдите значения p и d чтобы под дискриминантом было целое число
Чтобы найти значения коэффициентов \( p \) и \( d \) в квадратном уравнении \( x^2 + px + d = 0 \), при которых дискриминант будет целым числом, сначала запишем формулу для дискриминанта \( D \):
\[ D = p^2 - 4d \]
Вам необходимо, чтобы \( D \) было целым числом при увеличении \( p \) и \( d \) на единицу. Это означает, что вам нужно исследовать выражение:
\[ D_n = (p+n)^2 - 4(d+n) \]
где \( n \) — количество увеличений (пока \( n \) — положительное целое число). Давайте попытаемся понять, как \( D_n \) может быть целым числом.
Подставляя \( D_n \) получаем:
\[ D_n = (p^2 + 2pn + n^2) - (4d + 4n) \] \[ = p^2 - 4d + 2pn + n^2 - 4n \] \[ = D + 2pn + n^2 - 4n \]
Таким образом, \( D_n \) зависит от начального дискриминанта \( D \) и изменений \( 2pn + n^2 - 4n \).
Для того чтобы гарантировать, что дискриминант будет целым числом, можно выбрать \( p \) и \( d \) таким образом, чтобы \( D \) уже было целым числом. Попробуем взять, например, \( p = 2 \) и \( d = 1\):
- Подставим эти значения в дискриминант:
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \]
- Дискриминант равен 0, что является целым числом. После этого проверяем:
Когда \( n = 1 \): \[ D_1 = D + 2 \cdot 2 \cdot 1 + 1^2 - 4 \cdot 1 = 0 + 4 + 1 - 4 = 1 \]
Когда \( n = 2 \): \[ D_2 = D + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 2^2 - 4 \cdot 2 = 0 + 8 + 4 - 8 = 4 \]
Таким образом, для \( p = 2 \) и \( d = 1 \) дискриминант остается целым числом при каждом увеличении \( n \).
Если вам нужны другие комбинации, можно проверять по аналогии, подставляя различные целые значения для \( p \) и \( d \) и исходя из условия, чтобы \( D \) оставалось целым числом. Попробуйте экспериментировать с различными парами значений и следите за тем, чтобы сочетание соответствовало требованию целочисленности дискриминанта.
