Тема координаты вектора, 9 класс. Векторы а и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а и -3b; 4а-b и b? Ответ поясните.

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы, нужно помнить, что два вектора коллинеарны, если один из них является постоянным множителем другого, то есть можно выразить один вектор через другой с помощью какого-то скаляра.

1. Векторы \( \mathbf{a} \) и \( -3\mathbf{b} \): Поскольку векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) коллинеарны, это означает, что можем записать \( \mathbf{a} = k\mathbf{b} \) для некоторого скаляра \( k \). Тогда \( -3\mathbf{b} \) можно выразить как:

\[ \mathbf{a} = k\mathbf{b} \implies -3\mathbf{b} = -\frac{3}{k} \mathbf{a} \]

Таким образом, векторы \( \mathbf{a} \) и \( -3\mathbf{b} \) будут коллинеарны, так как один из них выразим через другого с помощью постоянного множителя (\(-\frac{3}{k}\)).

2. Векторы \( 4\mathbf{a} - \mathbf{b} \) и \( \mathbf{b} \): Из определения коллинеарности также нужно проверить, можно ли получить один вектор через другой. Подставим \( \mathbf{a} = k\mathbf{b} \):

\[ 4\mathbf{a} = 4k\mathbf{b} \] Тогда,

\[ 4\mathbf{a} - \mathbf{b} = 4k\mathbf{b} - \mathbf{b} = (4k - 1)\mathbf{b} \]

Если \( k \neq \frac{1}{4} \), то \( 4\mathbf{a} - \mathbf{b} \) и \( \mathbf{b} \) будут коллинеарны. Если \( k = \frac{1}{4} \), то \( 4\mathbf{a} - \mathbf{b} \) будет равен нулевому вектору, который тоже считается коллинеарным любому ненулевому вектору.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что:

1. Векторы \( \mathbf{a} \) и \( -3\mathbf{b} \) коллинеарны.
2. Векторы \( 4\mathbf{a} - \mathbf{b} \) и \( \mathbf{b} \) коллинеарны, при условии \( k \neq \frac{1}{4} \) (в общем случае они также коллинеарны, если \( 4\mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{0} \)).