Медиана треугольника периметр которого равен 60 сантиметров разбивает его на два треугольника периметры которых равны 36 и 50 сантиметров.чему равна длина этой медианы

Чтобы найти длину медианы треугольника с заданными параметрами, воспользуемся свойствами медиан и периметрами образованных треугольников.

Обозначим треугольник ABC, где M — середина стороны BC. Медиана AM разбивает треугольник на два меньших треугольника: ABM и ACM. Периметры этих треугольников равны 36 см и 50 см соответственно.

1. Сначала найдем стороны треугольника ABC. Периметр треугольника ABC равен 60 см, то есть: \[ AB + AC + BC = 60 \]

2. Периметры треугольников ABM и ACM:

   • Периметр ABM: \( AB + AM + BM = 36 \)
   • Периметр ACM: \( AC + AM + CM = 50 \)

3. Заметим, что BM и CM — это половины стороны BC, так как M — это середина.

Обозначим:

• \( AB = c \)
• \( AC = b \)
• \( BC = a \)
• \( AM = m \) (медиана, которую нужно найти)

Теперь можем записать уравнения:

1. \( c + b + a = 60 \)
2. \( c + m + \frac{a}{2} = 36 \)
3. \( b + m + \frac{a}{2} = 50 \)

Из уравнений (2) и (3) выразим m:

• Из уравнения (2): \[ m = 36 - c - \frac{a}{2} \]

• Из уравнения (3): \[ m = 50 - b - \frac{a}{2} \]

Теперь приравняем два уравнения для m: \[ 36 - c - \frac{a}{2} = 50 - b - \frac{a}{2} \] Сократится \(\frac{a}{2}\): \[ 36 - c = 50 - b \] \[ b - c = 14 \] \[ b = c + 14 \]

Теперь подставим b в первое уравнение: \[ c + (c + 14) + a = 60 \] \[ 2c + 14 + a = 60 \] \[ 2c + a = 46 \] \[ a = 46 - 2c \]

Теперь подставим a в одно из уравнений для m: Используем уравнение (2): \[ m = 36 - c - \frac{46 - 2c}{2} \] \[ = 36 - c - 23 + c \] \[ = 36 - 23 \] \[ = 13 \]

Таким образом, длина медианы AM равна 13 см.