Найдите количество различных натуральных делителей числа 10³•11⁴•12⁵

Чтобы найти количество различных натуральных делителей числа \(10^3 \cdot 11^4 \cdot 12^5\), нужно сначала разложить числа на простые множители.

1. Разложим каждое число на простые множители:

   • \(10 = 2^1 \cdot 5^1\), следовательно, \(10^3 = (2^1 \cdot 5^1)^3 = 2^3 \cdot 5^3\).
   • \(11\) является простым числом, следовательно, \(11^4 = 11^4\).
   • \(12 = 2^2 \cdot 3^1\), следовательно, \(12^5 = (2^2 \cdot 3^1)^5 = 2^{10} \cdot 3^5\).

2. Теперь объединим все множители: \[ 10^3 \cdot 11^4 \cdot 12^5 = (2^3 \cdot 5^3) \cdot 11^4 \cdot (2^{10} \cdot 3^5) \] Соберем все степени одинаковых простых множителей:

   • \(2^{3+10} = 2^{13}\)
   • \(3^5\)
   • \(5^3\)
   • \(11^4\)

Значит, разложение на простые множители выглядит так: \[ 10^3 \cdot 11^4 \cdot 12^5 = 2^{13} \cdot 3^5 \cdot 5^3 \cdot 11^4 \]

3. Теперь найдем количество натуральных делителей. Формула для нахождения количества делителей числа, разложенного на простые множители, имеет вид: \[ (d_1 + 1)(d_2 + 1)(d_3 + 1)(d_4 + 1) \] где \(d_1, d_2, d_3, d_4\) — степени простых множителей.

Таким образом, подставляем степени:

• Для \(2^{13}\) имеем \(13 + 1 = 14\),
• Для \(3^5\) имеем \(5 + 1 = 6\),
• Для \(5^3\) имеем \(3 + 1 = 4\),
• Для \(11^4\) имеем \(4 + 1 = 5\).

Теперь перемножим эти значения: \[ 14 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 5 \]

4. Вычислим это произведение: \[ 14 \cdot 6 = 84, \] \[ 84 \cdot 4 = 336, \] \[ 336 \cdot 5 = 1680. \]

Таким образом, количество различных натуральных делителей числа \(10^3 \cdot 11^4 \cdot 12^5\) равно \(1680\).