(x+7)^2 × (x^2-3x-10)>0

Для решения неравенства \((x + 7)^2 \cdot (x^2 - 3x - 10) > 0\), давайте рассмотрим каждый множитель по отдельности.

1. Рассмотрим первый множитель \((x + 7)^2\):

   • Этот множитель всегда неотрицателен, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. При равенстве \((x + 7)^2 = 0\), мы получаем \(x = -7\). Это значение неравенства приравнивает к нулю.

2. Рассмотрим второй множитель \(x^2 - 3x - 10\):

   • Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
   • Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 7}{2} \]
   • Таким образом, корни: \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

3. Определим знаки выражения \(x^2 - 3x - 10\) на интервалах:

   • Интервалы делятся на: \((-\infty, -2)\), \((-2, 5)\) и \((5, +\infty)\).
   • Выбираем тестовые точки для каждого интервала:
     • Для интервала \((-\infty, -2)\), например \(x = -3\): \[ (-3)^2 - 3(-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 > 0 \]
     • Для интервала \((-2, 5)\), например \(x = 0\): \[ 0^2 - 3(0) - 10 = -10 < 0 \]
     • Для интервала \((5, +\infty)\), например \(x = 6\): \[ 6^2 - 3(6) - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 > 0 \]

4. Кратко подведем итоги:

   • \((x + 7)^2\) равно нулю при \(x = -7\).
   • \(x^2 - 3x - 10 > 0\) при \(x \in (-\infty, -2)\) и \(x \in (5, +\infty)\).
   • Таким образом, неравенство \((x + 7)^2 \cdot (x^2 - 3x - 10) > 0\) выполняется на интервалах: \[ x \in (-\infty, -2) \quad \text{и} \quad x \in (5, +\infty) \]

5. Ответ:

   • Все решения: \(x \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty)\).