метод лопласа, метод минора, обратная матрица, и по методу крамера реши задачу: |1 1 1| |1 3 1| |1 1 3| x=(x1) (x2) (x3) B=(1) (2) (3)

Отлично! Давайте подробно разберем задачу с использованием различных методов решения системы линейных уравнений. У нас есть система:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + 3x_2 + x_3 = 2 \\ x_1 + x_2 + 3x_3 = 3 \end{cases} \]

Или в матричном виде:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Метод Крамера

Сначала найдем определитель матрицы \(A\):

\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} \]

Раскроем определитель по первому ряду:

\[ D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим каждый определитель:

1. \(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 1 = 8\)

2. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 1 = 2\)

3. \(\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2\)

Подставим найденные значения в формулу для \(D\):

\[ D = 1 \cdot 8 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = 8 - 2 - 2 = 4 \]

Теперь найдем определители \(D_1\), \(D_2\) и \(D_3\), заменив первый, второй и третий столбцы матрицы \(A\) соответствующими значениями из вектора \(B\):

1. \(D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix}\)

Раскроем по первому ряду:

\[ D_1 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \]

Вычислим определители:

• Первый: уже найден \(8\).
• Второй: \(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 3 = 3\).
• Третий: \(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 9 = -7\).

Подставим:

\[ D_1 = 1 \cdot 8 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-7) = 8 - 3 - 7 = -2 \]

2. \(D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix}\)

Раскроем по первому ряду:

\[ D_2 = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \]

Вычислим определители:

• Первый: \(2 \cdot 3 - 1 \cdot 3 = 6 - 3 = 3\).
• Второй: тоже \(2\), как уже вычислялось.
• Третий: \(1 - 2 = -1\).

Подставим:

\[ D_2 = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 3 - 2 - 1 = 0 \]

3. \(D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}\)

Считаем аналогично:

• Первый: уже не требуется.
• Второй: \(1\).
• Третий: \(1 - 3 = -2\).

Подставим:

\[ D_3 = 8 - 3 - 2 = 3 \]

Теперь найдём решение:

\[ x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{0}{4} = 0 \] \[ x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{3}{4} \]

Таким образом, решение системы:

\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{3}{4} \end{pmatrix} \]

Попробуйте проверить результаты с помощью других методов, таких как метод Лапласа или метод миноров, если интересно. Удачи в подготовке к экзаменам!