В задаче дан параллелограмм ABCD, где биссектрису угла A пересекает сторону BC в точке K. Даны отрезки BK и CK, такие что ( BK = 4u ) и ( CK = 8 ).
Поскольку K - точка на стороне BC, то мы можем записать, что длина отрезка BC равна:
[
BC = BK + CK = 4u + 8.
]
Согласно свойству биссектрисы угла в треугольнике, отношение отрезков, на которые она делит сторону, равно отношению длин смежных сторон треугольника:
[
\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AD}.
]
Подставим известные значения:
[
\frac{4u}{8} = \frac{AB}{AD}.
]
Это упростится до:
[
\frac{1}{2} = \frac{AB}{AD}.
]
То есть ( AB = \frac{1}{2} AD ). Обозначим длину стороны AD как ( AD = x ), тогда ( AB = \frac{1}{2} x ).
В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно:
[
BC = AD \quad \text{и} \quad AB = CD.
]
Теперь подставим значение BK и CK в выражение для BC:
[
BC = 4u + 8 = x.
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( AD = x )
- ( AB = \frac{1}{2} x )
Теперь периметр параллелограмма P можно выразить как:
[
P = 2(AB + AD) = 2\left(\frac{1}{2}x + x\right) = 2\left(\frac{3}{2}x\right) = 3x.
]
Подставляем значение ( x = 4u + 8 ):
[
P = 3(4u + 8) = 12u + 24.
]
Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен:
[
P = 12u + 24.
]
