Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 4uCK = 8. геометрия 9 класс

В задаче дан параллелограмм ABCD, где биссектрису угла A пересекает сторону BC в точке K. Даны отрезки BK и CK, такие что \( BK = 4u \) и \( CK = 8 \).

Поскольку K - точка на стороне BC, то мы можем записать, что длина отрезка BC равна:

\[ BC = BK + CK = 4u + 8. \]

Согласно свойству биссектрисы угла в треугольнике, отношение отрезков, на которые она делит сторону, равно отношению длин смежных сторон треугольника:

\[ \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AD}. \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{4u}{8} = \frac{AB}{AD}. \]

Это упростится до:

\[ \frac{1}{2} = \frac{AB}{AD}. \]

То есть \( AB = \frac{1}{2} AD \). Обозначим длину стороны AD как \( AD = x \), тогда \( AB = \frac{1}{2} x \).

В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно:

\[ BC = AD \quad \text{и} \quad AB = CD. \]

Теперь подставим значение BK и CK в выражение для BC:

\[ BC = 4u + 8 = x. \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( AD = x \)
2. \( AB = \frac{1}{2} x \)

Теперь периметр параллелограмма P можно выразить как:

\[ P = 2(AB + AD) = 2\left(\frac{1}{2}x + x\right) = 2\left(\frac{3}{2}x\right) = 3x. \]

Подставляем значение \( x = 4u + 8 \):

\[ P = 3(4u + 8) = 12u + 24. \]

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен:

\[ P = 12u + 24. \]