Внутри круга с радиусом 10 см начертили квадрат. Известно, что диагональ квадрата равна радиусу окружности. Какова вероятность того, что выбранная наугад точка принадлежит…

Для решения данной задачи сначала найдем площадь круга и площадь квадрата и затем вычислим вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит квадрату.

1. Площадь круга. Радиус круга \( r = 10 \) см. Площадь круга рассчитывается по формуле: \[ S_{\text{круга}} = \pi r^2 \] Подставим значение радиуса и значение \(\pi\): \[ S_{\text{круга}} = 3 \cdot 10^2 = 3 \cdot 100 = 300 \, \text{см}^2 \]

2. Найдем сторону квадрата. Данная диагональ квадрата равна радиусу окружности, то есть \( d = 10 \) см. Для квадрата со стороной \( a \) диагональ вычисляется по формуле: \[ d = a \sqrt{2} \] Подставим значение диагонали: \[ 10 = a \sqrt{2} \] Теперь выразим сторону \( a \): \[ a = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \, \text{см} \]

3. Найдем площадь квадрата. Площадь квадрата вычисляется по формуле: \[ S_{\text{квадрата}} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \, \text{см}^2 \]

4. Вычислим вероятность. Вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит квадрату, равна отношению площади квадрата к площади круга: \[ P = \frac{S_{\text{квадрата}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{50}{300} = \frac{1}{6} \]

Итак, вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит квадрату, равна \( \frac{1}{6} \).