Сколькими способами можно поставить на пустую шахматную доску белую ладью и чёрного короля, чтобы король был под ударом, а ладья - нет? (Ладья нападает на клетки, расположенные с ней в одной горизонтали или одной вертикали. Король нападает на клетки, примыкающие к его клетке стороной или углом).

Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся, как расположить белую ладью и чёрного короля на шахматной доске так, чтобы король находился под ударом, а ладья - нет.

1. Положение ладьи: Ладья может находиться в любой из 64 клеток шахматной доски. Она атакует все клетки в её горизонтали и вертикали.

2. Положение короля: Король тоже может находиться в любой клетке. Но чтобы он был под ударом ладьи, он должен находиться в одной линии (горизонтали или вертикали) с ладьёй.

Теперь проанализируем условия задачи:

• Ладья не должна находиться на той же клетке, что и король.
• Король должен быть в пределах одной вертикали или горизонтали с ладьёй.

3. Подсчёт возможных вариантов:
   • Если ладья стоит на какой-то клетке (x, y), то она атакует все клетки в строке x и столбце y.
   • Король не может находиться на клетке (x, y), и не может находиться на клетках, непосредственно примыкающих к ней.

Таким образом, для каждой позиции ладьи:

• Мы исключаем 3 клетки из строки (где стоит ладья), включая клетку, где король может находиться, а также 3 клетки из столбца (где стоит ладья).
• Поскольку пересечение (клетка, где стоит ладья) учитывается дважды, нам нужно вычесть 1 из общего количества исключённых клеток.

Итак, у нас:

• В строке: 8 - 3 = 5
• В столбце: 8 - 3 = 5

Теперь сложим возможные позиции короля:

• 5 (из строки) + 5 (из столбца) = 10 клеток, которые исключены, но из них одна уже совсем не доступна, так как король не может оказаться в клетке, уже занятой ладьёй.

Итого:

• Общее количество клеток, доступных для короля = 64 (всех клеток) - 1 (клетка под ладьёй) - 10 (всех исключённых клеток) = 53.

Теперь мы можем подсчитать количество возможных положений следующим образом:

• Количество способов выбрать клетку для ладьи: 64.
• Количество способов выбрать клетку для короля, находясь под ударом: 10 (согласно нашим вычислениям).

Теперь умножим количество вариантов: \[ 64 \text{ (клетки для ладьи)} \times 10 \text{ (клетки для короля)} = 640 \]

Таким образом, существует 640 способов расставить белую ладью и чёрного короля на пустой шахматной доске так, чтобы король находился под ударом, а ладья - нет.