дано:∆ abc. a(2;4;6) b(1;0;2) c(3;4;0) найти P∆abc=

Для нахождения площади треугольника \( \Delta ABC \) с заданными координатами вершин \( A(2, 4, 6) \), \( B(1, 0, 2) \), \( C(3, 4, 0) \) в трёхмерном пространстве, можно воспользоваться векторным произведением.

Сначала определим векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

\[ \vec{AB} = B - A = (1 - 2, 0 - 4, 2 - 6) = (-1, -4, -4) \]

\[ \vec{AC} = C - A = (3 - 2, 4 - 4, 0 - 6) = (1, 0, -6) \]

Теперь вычислим векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \):

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 0 & -6 \end{vmatrix} \]

Раскроем определитель:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \hat{i}((-4) \cdot (-6) - (-4) \cdot 0) - \hat{j}((-1) \cdot (-6) - (-4) \cdot 1) + \hat{k}((-1) \cdot 0 - (-4) \cdot 1) \]

\[ = \hat{i}(24) - \hat{j}(6 - 4) + \hat{k}(0 + 4) \] \[ = \hat{i}(24) - \hat{j}(2) + \hat{k}(4) \]

Таким образом, вектор \( \vec{AB} \times \vec{AC} = (24, -2, 4) \).

Теперь найдем модуль этого вектора:

\[ \|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \sqrt{24^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{576 + 4 + 16} = \sqrt{596} \]

Площадь треугольника \( P_{\Delta ABC} \) равна половине модуля векторного произведения:

\[ P_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \times \vec{AC}\| = \frac{1}{2} \sqrt{596} \]

Таким образом, мы получили:

\[ P_{\Delta ABC} = \frac{\sqrt{596}}{2} \approx 12.2 \]

Это и есть площадь данного треугольника.