Найди радиус верхнего основания усечённого конуса, если площадь нижнего равна 441π, а образующая, равная 12, наклонена к плоскости основания под углом в 60 ° Запиши в поле ответа верное число
Для нахождения радиуса верхнего основания усечённого конуса, используя данные, что площадь нижнего основания равна \( 441\pi \) и образующая равна \( 12 \), а угол наклона образующей к плоскости основания составляет \( 60^\circ \), следуем следующим шагам:
Найдем радиус нижнего основания \( R \): Площадь нижнего основания усечённого конуса вычисляется по формуле: \[ S = \pi R^2 \] Подставляя известные значения: \[ 441\pi = \pi R^2 \] Упрощаем: \[ R^2 = 441 \] \[ R = \sqrt{441} = 21 \] Таким образом, радиус нижнего основания равен \( 21 \).
Используем угол наклона для нахождения высоты \( h \): Известно, что образующая \( l = 12 \) и угол наклона \( \theta = 60^\circ \). Можно найти высоту \( h \) усечённого конуса: \[ h = l \cdot \sin(\theta) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \]
Найдем радиус верхнего основания \( r \), используя теорему Пифагора: В изометрии получаем, что расстояние между радиусами, высотой и образующей образует прямоугольный треугольник: \[ l^2 = h^2 + (R - r)^2 \] Подставим известные значения: \[ 12^2 = (6\sqrt{3})^2 + (21 - r)^2 \] Это упрощается до: \[ 144 = 108 + (21 - r)^2 \] Выразим \( (21 - r)^2 \): \[ (21 - r)^2 = 144 - 108 = 36 \] Теперь, извлекая корень, получаем: \[ 21 - r = 6 \quad \text{или} \quad 21 - r = -6 \] Из первого уравнения: \[ r = 21 - 6 = 15 \] Из второго уравнения: \[ r = 21 + 6 = 27 \quad (\text{неподходящий, так как радиус не может быть больше радиуса нижнего основания}) \]
Таким образом, радиус верхнего основания усечённого конуса равен \( 15 \).
Ответ: 15.
