Выписаны все делители некоторого натурального числа, кроме единицы и его самого. Какие-то два числа из этого списка отличаются в шесть раз. А во сколько раз отличаются два самых больших числа из этого списка?

Пусть \( n \) — это натуральное число, делители которого мы рассматриваем. Обозначим два делителя, которые отличаются в 6 раз, как \( d \) и \( 6d \). Поскольку оба числа являются делителями \( n \), то \( 6d \) также должно делить \( n \).

Если \( d \) является делителем \( n \), то можно написать \( n = k \cdot d \) для некоторого натурального числа \( k \). Поскольку \( 6d \) тоже делит \( n \), это должно означать, что \( n \) делится на \( 6 \). То есть \( n \) можно представить в виде:

\[ n = 6m \]

где \( m \) — это некоторый натуральный делитель \( n \).

Теперь заметим, что среди делителей \( n \) должен присутствовать делитель, кратный 6, и другие делители, включая \( d \) и \( 6d \). Чтобы найти два самых больших делителя, давайте посмотрим на общий случай, когда делители \( n \) имеют вид \( d_1, d_2, \ldots, d_k \), где \( d_k \) — наибольший делитель, а \( d_{k-1} \) — второй по величине.

Наиболее вероятный вариант — это когда \( n \) является произведением низких простых чисел, например, \( 12 \), \( 18 \), и т.д.

Для небольшого числа \( n = 12 \):

• Делители: \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \)
• Делители, кроме \( 1 \) и \( 12 \): \( 2, 3, 4, 6 \). Здесь 6 и 1 можно заметить, что 6 больше всех.
• Чем отличаться будут наибольшие — \( 6 \) и \( 4 \), так \( 6 / 4 = 1.5 \), не в разы, может сведем к другим.

Для числа \( n = 36 \):

• Делители: \( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \)
• Делители, кроме 1 и 36: \( 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 \)
• Здесь тоже мы увидим, что само \( 2 \) в 6 раз \( 12 \).

И вот получая вариант \( n = 36 \):

• Здесь также 12 очень близко к 18, и так далее.

Таким образом, можем заключить, что это формула делимости и логика делителей означает, что между самыми большими: \((18 и 12)\) отличие их в 1.5 раз или 1,5. Но по свойству если два больших \( d \) и \( 6d \) отличия будет находиться как \( 2 \) ; \( d = 6m, 1 \).

Формально, если \( a \) и \( 6a\) отличаются в 6 раз, то ближайшее отличие двух самих больших делителей может составлять \( в 2 раз\)💡.