решите систему линейных уравнений с методом замены переменной: {х+3у/2=3/4× (х-2у)+27 {х+3у/2=х-2у/3 + 31
Для решения данной системы линейных уравнений методом замены переменной, сначала запишем ваши уравнения:
\(\frac{x + 3y}{2} = \frac{3}{4}(x - 2y) + 27\)
\(\frac{x + 3y}{2} = \frac{x - 2y}{3} + 31\)
Теперь решим каждое уравнение по отдельности.
Начнем с первого уравнения:
- Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ 4 \cdot \frac{x + 3y}{2} = 4 \left( \frac{3}{4}(x - 2y) + 27 \right) \]
Это даст нам:
\[ 2(x + 3y) = 3(x - 2y) + 108 \]
Теперь раскроем скобки и упростим:
\[ 2x + 6y = 3x - 6y + 108 \]
Переносим все члены с \(x\) и \(y\) в одну сторону:
\[ 2x - 3x + 6y + 6y = 108 \]
Это упрощается до:
\[ -x + 12y = 108 \]
Переписываем уравнение:
\[ x = 12y - 108 \tag{1} \]
Теперь перейдем ко второму уравнению:
- Умножим обе стороны на 6:
\[ 6 \cdot \frac{x + 3y}{2} = 6 \left( \frac{x - 2y}{3} + 31 \right) \]
Это даст:
\[ 3(x + 3y) = 2(x - 2y) + 186 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x + 9y = 2x - 4y + 186 \]
Переносим все \(x\) и \(y\) в одну сторону:
\[ 3x - 2x + 9y + 4y = 186 \]
Упрощаем:
\[ x + 13y = 186 \tag{2} \]
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
(1) \( x = 12y - 108 \)
(2) \( x + 13y = 186 \)
Подставим (1) в (2):
\[ 12y - 108 + 13y = 186 \]
Соберем все \(y\):
\[ 25y - 108 = 186 \]
Добавляем 108 к обеим сторонам:
\[ 25y = 294 \]
Теперь делим обе стороны на 25:
\[ y = \frac{294}{25} \]
Теперь подставим \(y\) обратно в (1):
\[ x = 12 \cdot \frac{294}{25} - 108 \]
Выполним вычисления:
\[ x = \frac{3528}{25} - 108 = \frac{3528 - 2700}{25} = \frac{828}{25} \]
Таким образом, мы нашли решение:
\[ x = \frac{828}{25}, \quad y = \frac{294}{25} \]
Если есть вопросы по шагам решения или дополнительным методам, не стесняйтесь спрашивать!
