{x^2+y^2 {xy=30
Давайте разберем эту систему уравнений.
У нас есть два уравнения:
- \( x^2 + y^2 \)
- \( xy = 30 \)
Сначала мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить одно из переменных через другое. Например, мы можем выразить \( y \) через \( x \):
\[ y = \frac{30}{x} \]
Теперь подставим это значение \( y \) в первое уравнение:
\[ x^2 + \left(\frac{30}{x}\right)^2 \]
Упростим это выражение:
\[ x^2 + \frac{900}{x^2} \]
Чтобы минимизировать это выражение, обратим внимание, что \( x^2 + \frac{900}{x^2} \) можно выразить через одну переменную и найти его производную. Давайте обозначим:
\[ z = x^2 \]
Тогда наше выражение станет:
\[ z + \frac{900}{z} \]
Теперь найдем производную по \( z \) и приравняем её к нулю, чтобы найти минимумы:
\[ \frac{d}{dz}\left( z + \frac{900}{z} \right) = 1 - \frac{900}{z^2} \]
Приравняем производную к нулю:
\[ 1 - \frac{900}{z^2} = 0 \]
Отсюда получаем:
\[ \frac{900}{z^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad z^2 = 900 \quad \Rightarrow \quad z = 30 \]
Теперь мы знаем, что \( x^2 = 30 \). Следовательно, \( x = \sqrt{30} \) или \( x = -\sqrt{30} \).
Найдем \( y \):
\[ y = \frac{30}{\sqrt{30}} = \sqrt{30} \quad \text{или} \quad y = \frac{30}{-\sqrt{30}} = -\sqrt{30} \]
Таким образом, пары значений \( (x,y) \) могут быть:
- \( \left(\sqrt{30}, \sqrt{30}\right) \)
- \( \left(-\sqrt{30}, -\sqrt{30}\right) \)
Теперь подставим значения обратно в \( x^2 + y^2 \):
\[ x^2 + y^2 = 30 + 30 = 60 \]
Таким образом, ответ: \( x^2 + y^2 = 60 \).
